Soluzione con il diagramma di Min-kowski

Ora affrontiamo il paradosso usando il diagramma di Minkowski (Hermann Minkowski, 1864 - 1909).
Si tratta di un grafico che consente una visione intuitiva dei fenomeni riguardanti la Relatività Ristretta senza utilizzare equazioni. In particolare, si possono visualizzare immediatamente le coordinate di un evento in un sistema di riferimento a partire dalle coordinate di un altro sistema di riferimento.

In ascissa si pone lo spazio-tempo (x), che riassume le tre coordinate spaziali e in ordinata il tempo (ct). Il tempo è moltiplicato per la velocità della luce c in modo che un anno-luce (sopra l'ascissa) abbia la stessa lunghezza di un anno (sopra l'ordinata), cioè le unità di misura diventano le stesse per lo spazio e per il tempo. Di conseguenza, la retta della luce ha una pendenza di 45°: in un anno la luce percorre un anno-luce.

Un punto qualsiasi all'interno del diagramma si chiama evento, cioè qualcosa che è avvenuto in un certo luogo e in certo tempo e definisce la sua posizione nello spazio-tempo, non quella di un oggetto nello spazio.

Si definisce intervallo lo spazio-tempo compreso tra due eventi ed è da preferire  ai termini “distanza” e “durata” - modificate dalle trasformazioni di Lorentz - perché il risultato dei calcoli, che vedremo nei diversi paragrafi, è a volte la durata tra due eventi sopra una linea oraria, altre volte è la distanza tra due eventi sopra una linea di simultaneità.

La linea che collega due eventi nello spazio-tempo si chiama linea oraria o linea universo e rappresenta il percorso di un oggetto nello spazio-tempo quadridimensionale. La linea verde è la linea di simultaneità, o linea di contemporaneità, che approfondiremo nelle prossime pagine.
La linea oraria è verticale quando l'oggetto è fermo e si inclina sempre più verso la retta della luce all'aumentare della velocità.

 

diagramma di Minkowski

Per esigenze grafiche e ritenendolo didatticamente più efficace, per questa sezione abbiamo preferito disporre il diagramma in posizione orizzontale, con il tempo in ascissa.

 

Sistema di riferimento terrestre

 

diagramma nel sistema terrestre

 

Esaminiamo ora il paradosso partendo dal diagramma sopra, che rappresenta il punto di vista di Arturo, cioè il sistema di riferimento terrestre.

Sulla linea orizzontale nera abbiamo la linea oraria terrestre con le date di partenza (3000) e arrivo dell'astronave (3020). Gli anni trascorsi, secondo il punto di vista di Arturo sono 20.
La linea orizzontale verde è la linea oraria dell'astronave, sulla quale si trovano le date relative al sistema di riferimento dell'astronave.
La Stella, considerata fissa come la Terra, è distante 8 a.l. nel sistema di riferimento terrestre (4,8 in quello dell'astronave).
I segmenti azzurri rappresentano la linea oraria della luce, inclinata di 45° affinché 1 anno luce corrisponda a 1 anno terrestre.

Alla partenza l'orologio terrestre segna il 3000.
A metà tra gli eventi “Partenza dell'astronave” e “Arrivo dell'astronave sulla Terra”, sulla linea oraria terrestre c'è l'evento terrestre simultaneo (secondo il sistema di riferimento terrestre) all'evento “Basilio arriva sulla Stella”, previsto dopo 10 anni, cioè nel 3010 terrestre. Vedremo nel paragrafo sulla simultaneità come si trovano questi valori.
Sulla stessa linea, dopo 6 anni dalla partenza (3006) dalla partenza, c'è l'evento simultaneo dell'arrivo sulla Stella, secondo il sistema di riferimento di Basilio.
La linea oraria dell'astronave indica che l'orologio alla partenza segna il 3000 e il 3006 quando Basilio giunge alla Stella.

Arrivato alla Stella, Basilio inverte immediatamente* la rotta, con relativa rotazione della linea di simultaneità. Questa ora incontra la linea temporale terrestre 6 anni prima del suo ritorno sulla Terra (3014) e quando finalmente sbarca, il suo orologio segna il 3012. L'orologio terrestre indica invece il 3020.

 

* Il tempo deve essere considerato trascurabile, altrimenti si introduce un'accelerazione e quindi il paradosso andrebbe risolto con la Relatività Generale.

 

Per Arturo il viaggio del gemello dura 20 anni, ma solo 12 per Basilio. Nel calcolo mancano quindi 8 anni nella vita dell'astronauta che, sommati ai 12 anni di viaggio, corrispondono ai 20 anni di Arturo.

In pratica, lungo la retta (linea oraria terrestre) che unisce gli eventi “Partenza dell'astronave” e “Arrivo dell'astronave sulla Terra” è stata trovata l'età di Arturo. Sulla linea spezzata (linea oraria dell'astronauta) è stata calcolata l'età di Basilio.

Una precisazione. Nel grafico la linea spezzata appare più lunga della retta ma nella geometria dello spazio-tempo quadridimensionale le cose funzionano diversamente rispetto allo spazio euclideo.
Osserviamo il diagramma di Minkowski del disegno sottostante.

 

triangolo di Minkowski

 

Per un triangolo ABC, vale la disuguaglianza nello spazio di Minkowski:

 

ACAB + BC

 

Quindi un percorso obliquo è sempre più breve (in termini di intervallo spazio-temporale) di una retta, esattamente il contrario di quanto avviene con la geometria euclidea. L'inclinazione del segmento obliquo dipende dalla velocità del corpo.

 

Nel paradosso, Arturo percorre una linea retta AC nello spazio-tempo, mentre Basilio percorre due segmenti obliqui AB e BC.
L'intervallo spazio-temporale del gemello in viaggio è quindi inferiore, secondo la disuguaglianza triangolare di Minkowski, a quello del gemello stazionario. Il tempo del gemello in viaggio è quindi inferiore e, di conseguenza, alla fine del suo percorso, Basilio è più giovane di Arturo.

Questo però deve essere valido anche nel sistema di riferimento dell'astronave e lo andremo a verificare nel prossimo paragrafo.

 

Il diagramma è intuitivo e si possono visualizzare immediatamente le diverse date. Proviamo anche a ricavarle con qualche calcolo, usando sempre i soliti valori.

Nell'astronave in moto il tempo rallenta di un fattore γ-1 secondo la formula di Lorentz vista in precedenza.

γ = 1 / √(1 - (v2/c2)
γ-1 = √(1 - 0,82) = 0,6

Quando Basilio raggiunge la Stella - che dista per lui 4,8 a.l. (8 a.l. × 0,6) - nel 3010 terrestre, il suo orologio segna 3006 (3000 + 10 × 0,6).
Da questa posizione osserva con uno strumento speciale l'orologio terrestre di Arturo e vede che segna 3002 (3010 - 8 [tempo impiegato dalla luce per arrivare alla Stella]).
Arturo, con il suo strumento, vede arrivare Basilio sulla Stella solo dopo 8 anni, cioè nel 3018.
Nella linea temporale stellare si vedono le date corrispondenti in quel sistema di riferimento.

 

Sistema di riferimento dell'astronave

Ora esaminiamo il diagramma secondo il punto di vista di Basilio, con la Terra che si allontana e lui rimane fermo. Abbiamo separato le fasi di allontanamento e di avvicinamento.

 

Fase di allontanamento

 

diagramma nel riferimento dell'astronave all'andata

 

Vediamo la prima fase, in cui Basilio si trova nei pressi della Stella e si muove solo nel tempo, mentre la Terra si allontana.
Nella linea verde superiore si trova il tempo rilevato dall'astronave. Nella linea nera in basso ci sono le date terrestri. Le date in rosso sono quelle misurate dall'astronauta.
La linea della luce, celeste, è sempre inclinata a 45° Qui ne sono rappresentate due perché il grafico comprende due fasi.

 

Il distacco della Terra avviene, per tutti gli orologi, nel 3000.
Basilio, se nel 3006 - momento di massimo allontanamento della Terra - guarda l'orologio terrestre, vede il 3002, mentre Arturo vedrebbe il 3006 solo nel 3018, come nel precedente grafico.
La linea oraria dell'astronauta (rossa) è orizzontale perché si muove solo nel tempo, con v = 0, mentre quella di Arturo è obliqua perché si sposta nello spazio-tempo con v = 0,8 c.
Il fattore γ per quella velocità è:

γ = 1 / √(1 - (v2/c2)
γ-1 = √(1 - 0,82) = 0,6

 

Basilio è fermo, solidale con la sua astronave, mentre la Terra si allontana a una velocità di 0,8 c fino a una distanza di -4,8 a.l. La distanza è ridotta di un fattore 0,6 (8 × 0,6 = 4,8) per la contrazione delle lunghezze
Come detto sopra, nell'istante in cui la Terra comincia ad allontanarsi, gli orologi di Arturo, Basilio e dell'astronave indicano tutti l'anno 3000.

Quando ha raggiunto la distanza di -4,8 a.l. gli orologi di Basilio e dell'astronave segnano entrambi 3006, cioè per loro sono passati 6 anni (4,8/0,8 = 6). Per Arturo e la Terra, invece, sono trascorsi solo 3,6 anni (6 × 0,6 = 3,6) e l'orologio segna 3003,6. L'orologio terrestre, essendo in movimento, subisce un rallentamento, avanzando di 20 anni (tempo previsto del ritorno della Terra nella sua posizione | 3020) in 20/0,6 = 33,33 anni (tempo dovuto al rallentamento | 3033.33).

 

Immaginiamo ora che Basilio decida di raggiungere il fratello sulla Terra.
Per evitare che con il cambio di sistema inerziale si modifichi la misura del tempo acquisito all'andata e che sia confrontabile con quello terrestre, bisognerebbe immaginare che il viaggio di ritorno fosse fatto da un terzo gemello che si materializza appena Basilio arriva alla Stella e prenda un'altra astronave in partenza dalla Stella verso la Terra con la stessa velocità.
Anche se non esplicitato, facciamo finta che avvenga questo anche nei punti delle discussioni dove si ha la medesima situazione.

 

Perché i due gemelli possano ricongiungersi, quando per Arturo sarà il 3020, supponendo che la Terra continui ad allontanarsi e l'astronave voglia raggiungerla, Basilio dovrebbe abbandonare il suo sistema di riferimento e viaggiare a una velocità enorme.
Per calcolarla possiamo usare la Legge di composizione delle velocità di un corpo in due sistemi di riferimento diversi:

 

w = (u + v) / (1 + uv/c2) = (0,8 + 0,8) / (1 + 0,8 × 0,8/12) = 0,975609 c

u e v sono le velocità della Terra e dell'astronave

* Si può procedere anche in altro modo. Basilio percorre 33,33 × 0,8 = 26.66 a.l. in 3033,33 - 3006 = 27,33 anni, perciò v = 26,66/27,33 = 0,9756 c

 

Questo valore è prossimo a quello della luce e nel grafico la linea celeste e quella rossa quasi si sovrappongono.

Basilio ha quindi subito un rallentamento temporale di un fattore:

γ-1 = √(1 - 0,9756092) = 0,2195155

molto maggiore di quello di Arturo, che è 0,6.

L'orologio di Basilio avanza di:

(3033,33 - 3006) × 0,2195155 = 6 anni

esattamente come nella fase di allontanamento, perciò il tempo complessivo del viaggio per Basilio è 12 anni e per Arturo 20 anni.

 

Fase di avvicinamento

Immaginiamo ora che Basilio non voglia raggiungere Arturo ma attenda, fermo sull'astronave, che la Terra ritorni indietro (rotazione di 180° del sistema) dopo che si era allontanata fino a -4,8 a.l.

 

diagramma nel riferimento dell'astronave al ritorno

 

Il diagramma è costruito nello stesso modo.
Dal 3000 al 3006 Basilio, prima che la Terra inizi il ritorno, ha ipoteticamente viaggiato a 0,975609 c, come visto in precedenza.
La visione dell'orologio sulla linea temporale terrestre è la stessa, Basilio “vede” il 3002 e Arturo il 3018: invarianza della velocità della luce.
Dal 3006 del suo orologio fino al 3012 Basilio si muove solo nel tempo (segmento orizzontale rosso).

I 6 anni di Basilio, relativi al suo ipotetico viaggio, calcolati con il grafico precedente, corrispondo su questo grafico a 6/0,2195155 = 27.33 anni e quindi quando per Basilio è il 3006 l'astronave ora segna il 3027,33. Questo “salto” temporale è dovuto al cambiamento del sistema di riferimento inerziale.

 

Basilio, solidale con l'astronave, dal 3006 si muove solo nel tempo e quindi i loro orologi sono nuovamente sincronizzati (intendendo che marciano alla stessa velocità). Man mano che la Terra si avvicina alla Stella, il tempo scorre finché si ricongiungono dopo 6 anni. Infatti, poiché gli orologi dell'astronauta e dell'astronave si muovono in modo sincrono, possiamo fare questa operazione: 3033,33 - 3027,33 = 6 e il loro incontro avviene dunque nel 3012.

 

Per quanto riguarda Arturo, i 27,33 anni dell'astronave corrispondono a 27.33 × 0,6 = 16,4 anni terrestri. L'inizio del ritorno si ha quindi nel 3016,4. Complessivamente il viaggio della Terra con Arturo dura 3,6 + 16,4 = 20 anni.

In pratica, mentre per Basilio il cambio di sistema di riferimento avviene istantaneamente, per Arturo trascorrono 3016,4 - 3003,6 = 12,8 anni nel sistema inerziale dell'astronave, che corrispondono agli 8 anni trascorsi secondo il sistema di riferimento terrestre.

 

In conclusione, Basilio è più giovane di Arturo perché in entrambi i sistemi di riferimento, Basilio ha viaggiato per 12 anni e Arturo per 20.

 

Il paradosso risulta inesistente con i diagrammi di Minkowski.