Abbiamo visto nella pagina precedente che, considerando la dilatazione temporale, si genera un paradosso.
Proponiamo perciò una prima soluzione con la contrazione delle lunghezze.
Come il tempo, infatti, anche le lunghezze e le distanze subiscono modificazioni relativistiche.
Nel caso specifico ci riferiamo propriamente alle distanze.
Per un corpo in movimento, la distanza tra due eventi si riduce in funzione della velocità.
Per semplificare le notazioni, non saranno usati i simboli Δl0 e Δl per indicare la lunghezza a riposo e quella in movimento, ma d'ora in poi saranno:
l0: la lunghezza dell'oggetto a riposo ed è definita lunghezza propria, cioè quella misurata nel sistema di riferimento in cui si trova in quiete. Si tratta di un parametro di partenza, non di una variabile.
l: la lunghezza dell'oggetto in moto relativo, che varia in funzione della velocità. È questa la variabile in ordinata. Il punto di coordinate (0, l0) è quello dal quale il grafico parte dall'asse delle ordinate.
Di seguito, la formula e il grafico, da cui si evince che al crescere della velocità, la lunghezza decresce. Quando il corpo è fermo, la contrazione delle lunghezze è nulla (l = l0).
La formula della contrazione delle lunghezze è la seguente:
In pratica, la lunghezza contratta (impropria), si ottiene moltiplicando la lunghezza propria per γ-1.
Valutiamo ora di quanto diminuisce la lunghezza quando il corpo è in moto. Anche questa è una variabile in funzione della velocità.
Se chiamiamo y il valore della diminuzione, questo si calcola come la differenza tra la lunghezza a riposo e quella in movimento, secondo la relazione:
y = | l - l0 | = l0(1 - √(1 - v2/c2))
dove è inserito il valore assoluto per non ottenere un numero negativo, in quanto l ≤ l0.
Quando il corpo è fermo, non c'è nessuna variazione di lunghezza essendo l = l0 e quindi y = 0.
Quando la velocità si avvicina (tende) a quella della luce, il radicando tende a diventare nullo e la diminuzione di lunghezza tende a essere uguale a l0. Se la velocità della luce venisse raggiunta, il corpo perderebbe tutta la sua lunghezza.
Il grafico pertanto parte dal punto (0,0) e tende al punto (c, l0), senza però raggiungerlo. Tra i due punti estremi il grafico è sempre crescente.
A questo punto occorre distinguere quello che succede all'astronave e quello che riguarda la distanza.
Un oggetto (astronave) in movimento subisce una contrazione lungo la direzione del moto. L'altezza però non varia. Naturalmente questo si riferisce a ciò che un osservatore vede dall'esterno. L'astronauta, invece, non noterebbe nulla di diverso.
Per quanto riguarda la distanza, a causa della dilatazione dei tempi, il viaggiatore compie il suo percorso in un tempo minore rispetto a quello misurato da un osservatore fermo. Per la contrazione delle lunghezze, il viaggiatore si trova a percorrere una distanza minore di quanto misurato da un osservatore fermo.
Usiamo i dati precedenti. La distanza della Stella è l0 = 8 anni luce, la velocità dell'astronave è v = 0,8 c, i gemelli hanno 30 anni e si trovano nell'anno 3000.
Sistema di riferimento terrestre
Punto di vista di Arturo
Nel sistema di riferimento terrestre, Arturo calcola l'intervallo temporale che trascorre mentre il gemello è in viaggio, che è:
t = (l0/v) × 2 = (8/0,8) × 2 = 20 anni
t
è tempo proprio
perciò Arturo invecchia di altrettanti anni.
Calcola anche l'intervallo temporale di Basilio che, per la dilatazione temporale, è di:
t = 20 √(1 - 0,82) = 20 × 0,6 = 12 anni
t
è tempo improprio
Alla fine del viaggio Arturo avrà 50 anni e Basilio 42.
Ricordiamo stiamo lavorando in modo impreciso sull'equivalenza di andata e ritorno.
Punto di vista di Basilio
Basilio sa che Arturo è in quiete perciò il suo intervallo temporale è di 20 anni.
Calcola ora il suo tempo proprio.
La dilatazione del tempo ha come conseguenza la contrazione delle lunghezze (ne parleremo ancora nella pagina sulla gravità), perciò la distanza dalla Terra è di:
l = 8√(1 - 0,82) = 8 × 0,6 = 4,8 anni luce
Il tempo di andata è quindi:
t = 4,8 / 0,8 = 6 anni
L'astronave resta nello spazio quindi 12 anni, perciò Basilio alla fine del viaggio avrà 42 anni.
Come si vede, pur essendo simmetrica la visione reciproca del tempo, è asimmetrica la visione della distanza percorsa, perciò in entrambi i sistemi di riferimento il viaggiatore Basilio è più giovane di Arturo e al termine del viaggio Arturo avrà 50 anni e Basilio 42.
PUNTO DI VISTA DI ARTURO | PUNTO DI VISTA DI BASILIO | ||
---|---|---|---|
ARTURO 50 | BASILIO 42 | ARTURO 50 | BASILIO 42 |
Il paradosso è superato con la contrazione delle lunghezze.
Ma è veramente così?
Dobbiamo vedere se vale anche nel sistema di riferimento dell'astronave.
Sistema di riferimento dell'astronave
La Terra si allontana a una velocità di 0,8 c mentre l'astronave rimane in quiete e poi torna indietro.
Basilio resta fermo nella sua astronave per 6 anni mentre la Terra si allontana, perciò è questa a subire la contrazione delle lunghezze. La distanza massima che essa raggiunge è:
l = 4,8√(1 - 0,82) = 4,8 × 0,6 = 2,88 a.l.
Il tempo proprio di Arturo diventa:
t = 2,88 / 0,8 = 3,6 anni
con la formula della dilatazione temporale si ottiene lo stesso risultato
Nei 6 anni di Basilio in posizione fissa, per Arturo passano 3,6 anni, perciò è lui a invecchiare meno!
Il paradosso ricompare, quindi bisogna trovare altre strade. *
*Nel sito di
Massimiliano dell'Aguzzo
, invece, si conferma la validità della soluzione con la contrazione delle lunghezze.