Leggi cristallografiche

Legge di Stenone o della costanza dell'angolo diedro

Talvolta i cristalli assumono in condizioni favorevoli di ambiente genetico forme di poliedri regolari ma, più frequentemente, si presentano sproporzionati per un diverso sviluppo delle facce di uno stesso tipo di poliedro.

 

legge di StenoneLegge di Stenone (Niels Stensen 1667). In un cristallo reale della stessa sostanza, comunque sproporzionato, a parità di condizioni di pressione e temperatura, l’angolo diedro formato da due facce qualsiasi è sempre uguale a quello formato dalle due facce corrispondenti del cristallo ideale.

Si può quindi constatare che le facce reali sono sempre parallele a quelle ideali e perciò gli angoli sono uguali.
Mediante un trasporto ideale delle facce parallelamente a se stesse, è possibile immaginare i cristalli ridotti a forme regolari.

Per esempio, il quarzo (SiO2) può avere l'abito regolare prismatico bipiramidale della figura a sinistra, oppure presentare deformazioni di vario aspetto, come nella figura a destra. In entrambi i cristalli, tuttavia, si può constatare che si mantengono costanti gli angoli tra due facce adiacenti.

 

due forme di quarzo

 

Per misurare gli angoli si usano i goniometri. In mineralogia ne esistono di due tipi. Il primo è il goniometro di applicazione, che si usa quando il cristallo da esaminare è abbastanza grande e le sue facce presentano superfici molto estese.

 

goniometro di applicazione

 

Il secondo è il goniometro a riflessione. Questo strumento utilizza la specularità delle facce ed è munito di un collimatore e di un cannocchiale in modo da consentire osservazioni molto precise.

Nella figura sotto abbiamo lo schema di funzionamento. Supponiamo di voler misurare l'angolo diedro ABC, tra le facce AB e BC di un minerale. Si fissa il minerale sullo strumento e si colpisce una faccia con un fascio di luce. Si fa ruotare il minerale finché non si vede l'immagine riflessa della faccia AB sull'oculare. Si ruota ora il minerale fino ad avere la riflessione della faccia BC. Ora si legge sopra un cerchio graduato dello strumento, l'angolo α della rotazione effettuata. L'angolo diedro ABC che ci interessa è α', supplementare di quello misurato.

 

 

Legge della costanza della simmetria

Un dato minerale può assumere forme cristalline diverse ma queste hanno tutte gli stessi elementi di simmetria (grado di simmetria).

Poiché un cristallo deriva dalla ripetizione omogenea e periodica di uno stesso elemento fondamentale, la cella elementare, che ha un proprio grado di simmetria, non potrà mai verificarsi la circostanza per cui l'edificio venga ad avere una simmetria diversa da quella del suo elemento.

Nel disegno, la pirite si presenta in cristalli cubici, pentagonododecaedrici e ottaedrici.

 

diverse forme con la stessa simmetria

 

Legge di Haüy o della razionalità degli indici

Con la legge di Stenone si possono riconoscere le diverse specie minerali, ma non è possibile identificarli nello spazio attraverso i parametri visti nella pagina precedente.
Per questo è necessario impostare una terna di assi (o 4, se necessario). Tali assi non sono tuttavia delle coordinate cartesiane ma 3 rette parallele a 3 spigoli convergenti e non complanari, reali o possibili, di un cristallo. Sono indicati con x, y, z e non formano necessariamente angoli di 90°. Gli angoli yz, xz, xy, sono indicati rispettivamente con α, β, γ.
L'orientazione di una faccia del cristallo è determinata dal rapporto OA : OB : OC dei segmenti che essa stacca sui tre assi di riferimento, cioè del rapporto dei suoi parametri a, b, c. I valori degli angoli e i rapporti parametrici della faccia fondamentale si chiamano costanti cristallografiche.
Si consiglia di orientare il cristallo in modo che nel rapporto parametrico siano c < a < b. Non ha importanza la lunghezza di ogni singolo parametro, ma il rapporto tra le tre lunghezza e questo in base alla legge della costanza dell'angolo diedro.
Le costanti cristallografiche possono risultare diverse se misurate a temperatura e pressione differenti, in conseguenza dell'anisotropia dei cristalli.

 

indici di due facce

 

Siano OA' = a', OB' = b', OC' = c', i parametri di un'altra faccia dello stesso cristallo che abbia orientazione diversa dalla precedente. Confrontando fra loro i rapporti parametrici delle due facce, si trova che:

 

 

dove h, k, l, sono tre numeri interi generalmente piccoli.

 

Da questa relazione, nel 1874 l'abate francese René Just Haüy (1743 - 1822) enunciò la legge della razionalità degli indici: se in un cristallo si assumono spigoli reali o possibili convergenti e non complanari, i rapporti tra i parametri di due facce qualsiasi stanno tra loro come numeri interi e generalmente piccoli.

 

Per avere una relazione semplice tra i rapporti parametrici di tutte le facce dei cristalli, si sceglie opportunamente una di esse che incontri tutti e tre gli assi di riferimento come faccia fondamentale (si veda la pagina precedente).

In alcuni casi una faccia incontra solo due assi ed è parallela al terzo; si avranno allora due parametri di lunghezza finita e uno di lunghezza infinita.

Se una faccia ha indici (123) significa che taglia gli assi cristallografici determinando tre segmenti di cui il primo uguale a quello della faccia fondamentale, il secondo 1/2 e il terzo 1/3 della faccia fondamentale.
Nel caso che uno o due parametri abbiano valore ∞, l'indice corrispondente sarà 0.
Ad esempio, se la faccia fondamentale ha indici (2 1 1,5) e quelli di un'altra faccia (∞ 1 1,5), avremo:

 

 

In un cristallo sono possibili solo quelle facce che hanno indici razionali, perciò i minerali possono assumere solo quelle forme geometriche in cui si verifica questa condizione. La simmetria pentagonale in un cristallo non è possibile perché non verifica la legge di Haüy: questa legge non ammette eccezioni.