Simmetria dei cristalli

La simmetria di un cristallo è l'ordine nella disposizione e nell'orientamento degli atomi nel reticolo cristallino dei minerali.
La simmetria è interna, ma si riflette nella forma esterna dei cristalli perfetti.

 

Elementi di simmetria

L'elemento di simmetria è un ente geometrico che permette di compiere una trasformazione, o operazioni di simmetria, in un cristallo provocando la ripetizione di parti geometricamente e fisicamente analoghe.
Gli elementi di simmetria che si possono trovare in un cristallo sono: asse, piano, centro.

I mineralogisti parlano spesso degli elementi di simmetria di un cristallo in termini quantitativi. Possiamo contare i piani speculari, gli assi di rotazione e i centri di inversione. Se gli oggetti hanno solo pochi elementi di simmetria, diciamo che hanno una simmetria bassa. Quelli che ne mostrano molti hanno un'elevata simmetria. I riferimenti alla simmetria alta e bassa sono necessariamente vaghi perché la simmetria si manifesta in molti modi diversi.

 

Asse di simmetria (A): è una retta immaginaria che attraversa il cristallo in una direzione tale che, facendo ruotare attorno ad esso il cristallo di 360°, questo assume più volte (almeno due) una posizione identica a quella iniziale cioè a una posizione detta di ricoprimento.

 

asse

Piano di simmetria (P): è un piano immaginario che attraversa il cristallo dividendolo in due parti specularmente simmetriche, cioè ricopribili per riflessione rispetto al piano stesso. Da una parte e dall'altra del piano di simmetria si trovano elementi uguali alla stessa distanza.

 

piano
 

Centro di simmetria (C): è un punto interno del cristallo tale che ogni retta passante per esso incontra sulla superficie del cristallo elementi uguali a uguale distanza. In altre parole, è un punto che divide a metà tutte le rette che incontrino da parte opposta elementi uguali del poliedro. Se esiste il centro di simmetria, il cristallo presenta coppie di vertici opposti, coppie di facce e spigoli opposti uguali. Un cristallo può avere al massimo un centro di simmetria che è il baricentro del solido. Mentre tutti i cristalli hanno un baricentro, non tutti i cristalli hanno un centro di simmetria.

 

centro

 

Operazioni di simmetria

Una operazione di simmetria è quella isometria - movimento apparente dell'oggetto - che trasforma geometricamente il sistema cristallino in un altro, lasciando inalterato l'aspetto, rendendolo perciò indistinguibile dall'originario.
Il luogo geometrico (linea, piano o punto), che rimane inalterato dall'operazione di simmetria, coincide con l'elemento di simmetria e a ogni punto dell'oggetto posto da una parte di esso corrisponde, a uguale distanza, un punto dall'altra parte.

 

La trasformazione simmetrica di posizione può avvenire per rotazione attorno ad una direzione (asse di simmetria), per riflessione su una superficie (piano di simmetria), per inversione rispetto a un punto (centro di simmetria). Ci può essere anche un vettore di traslazione, che vedremo più avanti.

 

Identità

L'operazione di identità non fa nulla (o subisce una rotazione di 360°), lascia inalterato l'oggetto, ma è importante perché, in assenza di altri elementi di simmetria, tutti gli oggetti hanno almeno l'elemento di identità. Simbolo 1 oppure E.

 

identità

 

Rotazione

L'operazione di rotazione avviene rispetto a una linea chiamata asse di rotazione e lascia l'oggetto sempre indistinguibile dall'originale.
Il numero di volte che il cristallo giunge alla posizione di ricoprimento - posizione uguale a quella di partenza - in 360° è chiamato periodo (ordine) dell'asse (n). Se la rotazione è di 360° abbiamo l'identità.

 

rotazione asse 3
Rotazione della pallina attorno all'asse con n = 3

 

Nel cubo disegno sottostante abbiamo le tre posizioni di ricoprimento, ogni 120°, tra facce e spigoli equivalenti per rotazione intorno a un asse parallelo a una diagonale del cubo: asse ternario di simmetria.

 

rotazione di un cubo

 

A seconda del numero di posizioni di ricoprimento che si ottengono da una rotazione completa attorno a una retta immaginaria: asse di simmetria (A), abbiamo un asse binario, ternario quaternario e senario, cioè di ordine 2, 3, 4 6.

 

ASSE ROTAZIONE n SIMBOLO
ORDINE 1 360° 1 nessun asse di simmetria
ORDINE 2 180° 2 asse 2
ORDINE 3 120° 3 asse 3
ORDINE 4 90° 4 asse 4
ORDINE 6 60° 6 asse 6

 

asse 1 asse 2 asse 3 asse 4 asse 6

 

Sebbene possiamo disegnare forme che hanno una simmetria 5 volte, o maggiore di 6 volte, i minerali non possiedono mai tale simmetria. Questo perché la forma esterna di un cristallo si basa su una disposizione geometrica di atomi. Se proviamo a combinare oggetti con simmetria 5 e 8, non possiamo combinarli in modo tale da riempire completamente lo spazio, come illustrato di seguito.

 

simmetria 5 e 8

 

 

Ad esempio se un cubo ruota attorno a un asse di simmetria passante per il centro di una faccia e perpendicolare ad essa, durante un giro completo assumerà 4 volte una posizione di ricoprimento. 3A4 indica che esistono tre assi quaternari.

 

3A4

 

Le 4 diagonali, che congiungono i vertici opposti del cubo, sono assi ternari 4A3. Le 6 rette che congiungono i punti centrali degli spigoli opposti del cubo sono assi binari 6A2.

 

assi di un cubo
Nel cubo si hanno 3A4, 4A3, 6A2

 

L'asse di simmetria avente due uscite non equivalenti è chiamato asse polare (p). Affinché un asse sia polare occorre che il cristallo non possieda centro di simmetria e normalmente ad esso siano assenti assi di simmetria di ordine pari o un piano di simmetria.
Ad esempio, nel quarzo la direzione corrispondente all'asse ternario non è polare - dato che normalmente ad esso esistono assi di simmetria binari -, ma sono invece polari le tre direzioni corrispondenti agli assi binari.
Alle due estremità polari si possono accumulare cariche di segno opposto (piezoelettricità).

 

quarzo piezoelettrico

 

Riflessione

L'operazione di riflessione si ha attraverso un piano di riflessione (simbolo m). L'oggetto posto su un lato del piano dello specchio - ed è ad esso perpendicolare - ha un equivalente a uguale distanza sull'altro lato del piano.
L'oggetto risultante può essere distinguibile o indistinguibile dall'originale, normalmente distinguibile, in quanto non sovrapponibile (le due mani della figura mostrano su una il pollice a destra e l'altra a sinistra). Se l'oggetto risultante è indistinguibile dall'originale, è perché il piano di riflessione sta attraversando l'oggetto.

 

riflessione delle mani

 

Uno stesso cristallo può possedere uno o più piani di simmetria. Per esempio, il simbolo 2P indica la presenza di due piani di simmetria. Nel disegno sotto sono rappresentati i nove piani di simmetria del cubo (9P).

 

9P del cubo

Inversione

L'operazione di inversione avviene attraverso un unico punto chiamato centro di inversione (1 oppure i). Con questa operazione vengono tracciate rette da tutti i punti dell'oggetto attraverso il centro, che hanno ciascuna una lunghezza equidistante dai punti originali. Tale operazione mette in relazione elementi identici di un cristallo ma, invece di rifletterli, li invertono, perciò il cristallo appare capovolto rispetto all'originale.
L'oggetto risultante può essere distinguibile o indistinguibile dall'originale. Normalmente è distinguibile, in quanto non sovrapponibile. Se l'oggetto risultante è indistinguibile dall'originale, è perché il centro di inversione è all'interno dell'oggetto.

 

inversione

Rotazione impropria o rotoinversione

Accanto alle operazioni di simmetria viste sopra, abbiamo un altro e importante tipo di operazione di simmetria, in questo caso composta: la rotoinversione.
Si tratta di una rotazione impropria, in relazione alla quale si ha il ricoprimento di elementi cristallografici (facce, spigoli, vertici) fisicamente equivalenti, eseguita attraverso una rotazione propria dell'oggetto di un angolo di 360°/n (360°, 180°, 120°, 90°, 60°) intorno ad un asse di (roto)inversione, seguita da una inversione attraverso un punto situato sull'asse stesso (centro di inversione).

Nell'esempio sotto, la mano risulta ruotata di 180° e invertita in un piano di osservazione diverso da quello in cui avviene la semplice rotazione.

 

inversione della mano

 

Nella tabella sotto abbiamo gli elementi composti derivanti dall'unione di ogni asse di simmetria con l'elemento di inversione.

L'elemento di inversione è comunemente rappresentato col simbolo ¯ che viene letto come “segnato”: ad esempio, il simbolo con ¯ è pronunciato come “due segnato”.

 

notazione della rotoinversione

Il simbolo 1 è anche il simbolo del centro di simmetria.

Il piano di simmetria è indicato come m.
La barra / indica che i due elementi posti tra la barra sono l'uno perpendicolare (ortogonale) all'altro e viene letto con il suono “su”: perciò 3/m è “tre su emme”.
Il simbolo indica l'equivalenza, per cui 2 ≡ m indica che i due termini sono equiscambiabili e identificano il medesimo elemento. Tale dicitura si legge come “due segnato è equivalente ad emme”.

 

OPERAZIONE DI ROTOINVERSIONE ELEMENTO COMPOSTO SIMBOLO
asse 1 (360°) + inversione centro di simmetria
asse 2 (180°) + inversione piano di simmetria ortogonale all'asse ≡ m
asse 3 (120°) + inversione asse 3 + centro di simmetria
asse 4 (90°) + inversione quaternario di inversione
asse 6 (60°) + inversione asse 3 + piano di simmetria ortogonale ≡ 3/m

 

Si veda il disegno del centro di inversione. L'operazione di rotoinversione prevede una rotazione di 360° seguita da un'inversione. Questo equivale a un normale centro di inversione.
L'operazione di rotoinversione comporta prima la rotazione dell'oggetto di 180°, quindi l'inversione attraverso un centro di inversione. Questa operazione equivale ad avere un piano speculare perpendicolare all'asse di rotoinversione .
Comporta la rotazione dell'oggetto di 120° e l'inversione di un centro. Un cubo è un esempio di un oggetto che possiede 3 assi di rotoinversione. Da notare che in realtà ci sono quattro assi in un cubo, uno che corre attraverso ciascuno degli angoli del cubo. Se si tiene uno degli assi in verticale, si vede che ci sono 3 facce in alto e 3 facce identiche capovolte in basso che sono sfalsate di 120° rispetto alle facce superiori. Questa è l'unica rotazione impropria che include anche l'asse di rotazione corretto e un centro di inversione.
Si ottiene attraverso la rotazione dell'oggetto di 90°, seguita dall’inversione attraverso un centro. Se l'asse è tenuto in posizione verticale, un oggetto con asse di rotoinversione presenterà due facce in alto e due facce identiche capovolte in basso. Si noti che è l'unica operazione di rotoinversione completamente distinta dalle altre operazioni di simmetria. Sebbene sia chiamato asse di rotoinversione, i cristalli con simmetria non hanno né un asse di rotazione quadruplo né un centro di inversione.
Un asse di rotoinversione comporta la rotazione dell'oggetto di 60° e l'inversione di un centro. Questa operazione è identica alla combinazione di un asse di rotazione triplo perpendicolare a un piano speculare.

 

esempi -1, -2, -3

 

Regola di coesistenza degli elementi di simmetria

Nei minerali, la presenza degli elementi visti sopra (asse, piano, centro), sia singolarmente, sia in combinazione tra loro, determina la morfologia finale di ciascuno. In particolare, in un cristallo:

  • possono esistere diversi piani di simmetria diversamente orientati fra loro;
  • possono esistere diversi assi di simmetria del medesimo ordine diversamente orientati fra loro;
  • possono esistere assi di simmetria di ordine diverso;
  • se esiste, potrà esserci solo un centro di simmetria.

Il numero e la combinazione degli elementi di simmetria sono limitati dal fatto che questi si condizionano a vicenda, sicché la presenza di alcuni determina o esclude la coesistenza di altri. Valgono cioè alcune regole di coesistenza.

 

1a legge di coesistenza

Un asse di ordina pari An (n = 2, 3, 4, 6) normale al piano e passante per centro, un piano P e un centro di simmetria C, sono tali che l'esistenza di due di essi condiziona necessariamente la presenza del terzo. In altre parole, asse di ordine pari, piano di simmetria perpendicolare all'asse e centro di simmetria sono sempre coesistenti. Viceversa, il centro, un piano e un asse di ordine dispari (2n + 1) normale al piano, sono elementi di simmetria tali che l'esistenza di due di essi esclude il terzo.
Ad esempio, se ho i due elementi di simmetria: un asse di ordine 2 (A2) e un centro di simmetria (C), ho necessariamente un piano di simmetria (m): A2 + CA2 + m

 

 

2a legge di coesistenza

Se perpendicolarmente ad un asse di ordine n (An) esiste un asse di ordine pari (2, 4, 6), esisteranno in totale n assi di ordine pari formanti fra loro angoli α = 180°/n. La legge è invertibile: se esistono n assi di ordine pari, la normale al loro piano sarà un asse di simmetria n.


3a legge di coesistenza

Se n piani di simmetria (P) si intersecano lungo una retta, tale direzione risulta essere un asse di simmetria di ordine n (An) e ciascun piano formerà con il successivo un angolo α = 180°/n. Anche questa legge è invertibile, cioè se un piano di simmetria contiene un asse di ordine n, allora esisteranno in totale n piani passanti per l'asse di ordine n.
Per esempio, se abbiamo un asse di simmetria ternario e un piano passante per l'asse, esisteranno in totale 3 piani per rotazione di 180°/3 = 120°. Essi avranno angoli α = 180°/3/2 = 60°.

 

 

Grado di simmetria

Il grado di simmetria di un cristallo è la somma degli elementi di simmetria comuni a tutte le sue proprietà. Per esempio un cubo ha 9P - 6A2 - 4A3 - 3A4 - C e quindi il grado di simmetria è 23.
Tutti i cristalli di una stessa sostanza, nella stessa modificazione di stato solido, possiedono lo stesso grado di simmetria, qualunque sia il loro abito geometrico esterno. I cristalli che presentano lo stesso grado si simmetria si raggruppano in una classe di simmetria.

 

Se consideriamo la forma del cristallo solo dal punto di vista geometrico, può avere una simmetria più alta della simmetria vera. La simmetria della forma geometrica si dice quindi simmetria apparente, mentre la vera è quella minima presente e comune a tutte le sue proprietà.
Per riconoscere la vera simmetria occorrono esami di natura fisica o chimica, come ad esempio le striature, le figure di corrosione, i fenomeni di piroelettricità e piezoelettricità.

 

Se osserviamo un cristallo cubico di pirite (FeS2) notiamo che le facce presentano delle striature (striature triglife). Due facce contigue presentano striature con andamento diverso: parallele a uno spigolo e perpendicolari a quelle delle facce adiacenti. Di conseguenza, si ha una riduzione di simmetria rispetto al cubo geometrico: gli assi principali si riducono da quaternari a binari (in una rotazione completa incontreremo solo due volte le striature con la stessa orientazione), si conservano i 4 assi ternari, i 3 piani principali, il centro; non ci sono più i 6 assi binari e i 6 piani perpendicolari a questi. Il cubo assume lo stesso grado di simmetria del pentagonododecaedro, forma tipica della pirite: 3A2 - 4A3 - 3P - C e il grado di simmetria è 11.

 

strie pentagonododecaedro di pirite

 

La vera simmetria può essere messa in evidenza anche da figure di corrosione, naturale o artificiale. Nel cristallo prismatico esagonale di calcite (figura sotto a sinistra), la forma e la disposizione delle figure di corrosione indicano che il minerale è trigonale.

 

corrosione di calcite erosione di spigoli del quarzo

 

In alcuni cristalli di quarzo si osserva talvolta una corrosione lungo i tre spigoli alterni del prisma esagonale (disegno sopra a destra), rivelando la presenza di un asse principale di simmetria ternario invece di senario. La presenza di fenomeni di piezoelettricità (vedi anche sopra) indica la mancanza del centro di simmetria e di piani.